3 Ways to Solve Exponentiations

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3 Ways to Solve Exponentiations
3 Ways to Solve Exponentiations
Anonim

Exponentiation (or potentiation) is the operation used to simplify the multiplication of a number by itself. For example, instead of writing 4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4*4*4*4*4}

, podemos usar apenas 45{displaystyle 4^{5}}

4^{5} />
<p>. This will be explained below in the section

). Atenção: para saber como resolver equações exponenciais, isto é, equações em que o valor desconhecido aparece no expoente (por exemplo, 22x=30{displaystyle 2^{2x}=30}

), clique aqui.

Passos

Método 1 de 3: Operações básicas com potências

Solve Exponents Step 1

Step 1. Learn the correct vocabulary for exponentiation problems

All power, such as 23{displaystyle 2^{3}}

, apresenta duas partes. O número inferior (2 nesse exemplo) é chamado de base. O número sobrescrito à direita (3 nesse exemplo) é chamado de expoente ou potência. Podemos ler a potência 23{displaystyle 2^{3}}

como dois elevado a três ou dois elevado à terceira potência.

  • Se um número estiver elevado à segunda potência, como 52{displaystyle 5^{2}}
  • , dizemos que ele está elevado ao quadrado (no exemplo, lemos cinco ao quadrado).

  • Se um número estiver elevado à terceira potência, como 103{displaystyle 10^{3}}
  • , dizemos que ele está elevado ao cubo (no exemplo, lemos dez ao cubo).

  • Se um número não possuir expoente, como um simples 4, dizemos que ele está elevado à primeira potência e podemos reescrevê-lo como 41{displaystyle 4^{1}}
  • Se o expoente for 0 e um número diferente de zero estiver elevado ao expoente zero, dizemos que a potência é igual a 1, como por exemplo 40=1{displaystyle 4^{0}=1}
  • ou (3/8)0=1.{displaystyle (3/8)^{0}=1.}

    (3/8)^{0}=1. />
<p>To learn more, visit the section Solve Exponents Step 2

    Step 2. Multiply the base repeatedly by itself as many times as the exponent indicates

    If you need to calculate the value of a power by hand, first rewrite it as a multiplication problem. The base must multiply itself a number of times equal to the exponent. So, to calculate the value of 34{displaystyle 3^{4}}

    , você deverá multiplicar a base três por si mesma quatro vezes seguidas, ou seja, 3∗3∗3∗3{displaystyle 3*3*3*3}

    . Observe mais alguns exemplos:

    • 45=4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
    • 82=8∗8{displaystyle 8^{2}=8*8}
    • Dez ao cubo =10∗10∗10{displaystyle =10*10*10}
    Solve Exponents Step 3

    Step 3. Solve the expression

    Multiply the first two numbers to get the product result. For example, to calculate 45{displaystyle 4^{5}}

    , você começaria com 4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4*4*4*4*4}

    . Essa expressão pode parecer assustadora, porém tudo o que você precisa para poder resolvê-la é dar um passo por vez. Primeiramente, multiplique os dois primeiros quatros. Em seguida, substitua esses dois quatros pelo resultado da multiplicação, como mostra a resolução abaixo:

    • 45=4∗4∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4}
      • 4∗4=16{displaystyle 4*4=16}
    • 45=16∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}
    Solve Exponents Step 4

    Step 4. Multiply the product of the first pair (in this example, 16) by the next number

    Keep multiplying the numbers to make the power "grow". Returning to our example, the next step would be to multiply the 16 by the next 4, as shown in the resolution below:

    • 45=16∗4∗4∗4{displaystyle 4^{5}=16*4*4*4}

      • 16∗4=64{displaystyle 16*4=64}
    • 45=64∗4∗4{displaystyle 4^{5}=64*4*4}
      • 64∗4=256{displaystyle 64*4=256}
    • 45=256∗4{displaystyle 4^{5}=256*4}
      • 256∗4=1024{displaystyle 256*4=1024}
    • Como mostrado, você deve continuar a multiplicar a base pelo produto de cada primeiro par de números até chegar ao resultado final. Em outras palavras, você deve multiplicar os dois primeiros números da sequência e, em seguida, multiplicar esse produto pelo próximo número. Isso vale para qualquer potência. Ao terminar nosso exemplo, você obterá o resultado 45=4∗4∗4∗4∗4=1024{displaystyle 4^{5}=4*4*4*4*4=1024}
    • .
    Solve Exponents Step 5

    Step 5. Solve some more examples (use a calculator to check the answers)

    • 82{displaystyle 8^{2}}

    • 34{displaystyle 3^{4}}
    • 107{displaystyle 10^{7}}
    Solve Exponents Step 6

    Step 6. Use the button "exp, " "xn{displaystyle x^{n}}

    x^{n} />
<p>

    Step 1. Add or subtract powers of the same base and same exponent

    If the bases and power exponents are equal, like 45+45{displaystyle 4^{5}+4^{5}}

    , podemos simplificar os termos da adição e transformá-la em uma simples multiplicação. É importante lembrar que 45{displaystyle 4^{5}}

    é o mesmo que 1∗45{displaystyle 1*4^{5}}

    , de tal forma que 45+45=1∗45+1∗45=2∗45{displaystyle 4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5}}

    4^{5}+4^{5}=1*4^{5}+1*4^{5}=2*4^{5} />
<p>, that is,

    e multiplicar o resultado por dois. Lembre-se: a multiplicação é apenas uma forma de reescrever uma adição, como 3+3=2∗3{displaystyle 3+3=2*3}

    . Observe mais alguns exemplos:

    • 32+32=2∗32{displaystyle 3^{2}+3^{2}=2*3^{2}}
    • 45+45+45=3∗45{displaystyle 4^{5}+4^{5}+4^{5}=3*4^{5}}
    • 45−45+2=2{displaystyle 4^{5}-4^{5}+2=2}
    • 4x2−2x2=2x2{displaystyle 4x^{2}-2x^{2}=2x^{2}}
    Solve Exponents Step 8

    Step 2. When multiplying powers of the same base, add the exponents together

    By multiplying two powers of the same base, such as x2∗x5{displaystyle x^{2}*x^{5}}

    , podemos simplificá-la repetindo a base e somando os dois expoentes. Assim, concluímos que x2∗x5=x7{displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}

    . Se esse raciocínio estiver confuso, basta decompor os termos da multiplicação para entender como ele funciona:

    • x2∗x5{displaystyle x^{2}*x^{5}}
    • x2=x∗x{displaystyle x^{2}=x*x}
    • x5=x∗x∗x∗x∗x{displaystyle x^{5}=x*x*x*x*x}
    • x2∗x5=(x∗x)∗(x∗x∗x∗x∗x){displaystyle x^{2}*x^{5}=(x*x)*(x*x*x*x*x)}
    • Como se trata simplesmente de um mesmo número multiplicado por si mesmo, podemos reorganizar a expressão da seguinte maneira: x2∗x5=x∗x∗x∗x∗x∗x∗x{displaystyle x^{2}*x^{5}=x*x*x*x*x*x*x}
    • x2∗x5=x7{displaystyle x^{2}*x^{5}=x^{7}}
    Solve Exponents Step 9

    Step 3. When raising a power to another exponent, such as (x2)5{displaystyle (x^{2})^{5}}

    , multiplique os expoentes.

    Uma potência elevada a outro expoente é igual a base dessa potência elevada ao produto dos dois expoentes. Assim, concluímos que (x2)5=x2∗5=x10{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2*5}=x^{10}}

    . Se achar o raciocínio confuso, basta analisar o que os símbolos realmente significam. A expressão (x2)5{displaystyle (x^{2})^{5}}

    representa que a potência (x2){displaystyle (x^{2})}

    está multiplicando si mesma 5 vezes, como podemos ver abaixo:

    • (x2)5{displaystyle (x^{2})^{5}}
    • (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}}
    • Como as bases são iguais, podemos somar os seus expoentes: (x2)5=x2∗x2∗x2∗x2∗x2=x10{displaystyle (x^{2})^{5}=x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}*x^{2}=x^{10}}
    Solve Exponents Step 10

    Step 4. Transform a power with a negative exponent into a fraction (or the reciprocal of the number)

    You don't need to know what reciprocal numbers are. Any number raised to a negative exponent, such as 3−2{displaystyle 3^{-}2}

    , é igual ao inverso desse número elevado ao mesmo expoente, porém com sinal oposto. Assim, concluímos que nosso exemplo pode ser reescrito como a fração 132{displaystyle {frac {1}{3^{2}}}}

    . Observe mais alguns exemplos:

    • 5−101510{displaystyle 5^{-10}{frac {1}{5^{10}}}}
    • 3x−4=3x4{displaystyle 3x^{-}4={frac {3}{x^{4}}}}
    Solve Exponents Step 11

    Step 5. When dividing two powers of the same base, subtract the exponents

    Division is the inverse of multiplication, and although these two operations are not always resolved in the opposite way, in this case they will be. The division of two powers of equal bases, such as 4442{displaystyle {frac {4^{4}}{4^{2}}}}

    , é igual a base elevada à diferença do expoente de cima pelo expoente de baixo. Assim, concluímos que 4442=44−2=42{displaystyle {frac {4^{4}}{4^{2}}}=4^{4-2}=4^{2}}

    , ou simplesmente

    Passo 16

    • Veremos a seguir que, qualquer potência que faz parte de uma fração, como 142{displaystyle {frac {1}{4^{2}}}}
    • , pode ser reescrita como 4−2{displaystyle 4^{-2}}

      . Expoentes negativos criam frações.

    Solve Exponents Step 12

    Step 6. Solve some more problems to practice exponential number operations

    The problems below cover all the operations shown so far. To view the answer, simply highlight the problem line with the mouse cursor.

    • 53{displaystyle 5^{3}}

      = 125

    • 22+22+22{displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}
    • = 12

    • x12−2x12{displaystyle x^{1}2-2x^{1}2}
    • = -x^12

    • y3∗y{displaystyle y^{3}*y}
    • = y4{displaystyle y^{4}}

      Lembre-se: todo número que não apresenta potência possui expoente 1

    • (Q3)5{displaystyle (Q^{3})^{5}}
    • = Q15{displaystyle Q^{1}5}

    • r5r2{displaystyle {frac {r^{5}}{r^{2}}}}
    • = r3{displaystyle r^{3}}

    Método 3 de 3: Potências com expoente fracionário

    Solve Exponents Step 13

    Step 1. Transform a power with a fractional exponent, such as x12{displaystyle x^{frac {1}{2}}}

    , em uma raiz.

    A potência x12{displaystyle x^{frac {1}{2}}}

    equivale exatamente à raiz x{displaystyle {sqrt {x}}}

    . Isso funciona da mesma forma para qualquer expoente fracionário, não importa o denominador da fração; assim, x14{displaystyle x^{frac {1}{4}}}

    seria o mesmo que a raiz quarta de x, ou seja, x4{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}}

    • A radiciação é a operação inversa da exponenciação. Por exemplo, se você elevar a raiz x4{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}}
    • à quarta potência, o resultado seria simplesmente x{displaystyle x}

      . Assim, 164=2{displaystyle {sqrt[{4}]{16}}=2}

      será o mesmo que 24=16{displaystyle 2^{4}=16}

      . Outro exemplo: se x4=2{displaystyle {sqrt[{4}]{x}}=2}

      , então 24=x{displaystyle 2^{4}=x}

      . Portanto, x=2{displaystyle x=2}

    Solve Exponents Step 14

    Step 2. Transform the numerator into the exponent of the radicand

    The power x53{displaystyle x^{frac {5}{3}}}

    pode parecer mais complicada, mas basta lembrar de como multiplicar expoentes de potências. Transforme a base da potência no radicando da raiz (como uma fração normal) e o numerador da fração no expoente da raiz. Se sentir dificuldade para memorizar isso, você só precisa lembrar que 53{displaystyle {frac {5}{3}}}

    é exatamente o mesmo que (13)∗5{displaystyle ({frac {1}{3}})*5}

    . Por exemplo:

    • x53{displaystyle x^{frac {5}{3}}}
    • x53=x5∗x13{displaystyle x^{frac {5}{3}}=x^{5}*x^{frac {1}{3}}}
    • x13=x3{displaystyle x^{frac {1}{3}}={sqrt[{3}]{x}}}
    • x53=x5∗x13{displaystyle x^{frac {5}{3}}=x^{5}*x^{frac {1}{3}}}
    • = (x3)5{displaystyle ({sqrt[{3}]{x}})^{5}}

    Solve Exponents Step 15

    Step 3. Add, subtract and multiply powers with fractional exponents normally

    It is much simpler to add and subtract powers before calculating them or converting them to roots. If the bases and power exponents are equal, you can add and subtract them normally. If the bases of the powers are equal, you can also multiply and divide them normally, as long as you know how to add and subtract fractions. Look at the examples:

    • x53+x53=2(x53){displaystyle x^{frac {5}{3}}+x^{frac {5}{3}}=2(x^{frac {5}{3} })}

    • x53∗x23=x73{displaystyle x^{frac {5}{3}}*x^{frac {2}{3}}=x^{frac {7}{3}}}
    Solve Exponents Step 16

    Step 4. Convert complicated roots to fractional exponent powers for easy resolution

    You've already seen how a fractional exponent power can be simply transformed into a root. However, it is important to note that this process can also be reversed. Take the expression x5+x75{displaystyle {sqrt[{5}]{x}}+x^{frac {7}{5}}}

    . À primeira vista, parece impossível resolver o problema; contudo, a raiz no primeiro termo pode ser facilmente convertida em uma fração, permitindo que você resolva o problema da seguinte maneira:

    • x5+x75{displaystyle {sqrt[{5}]{x}}+x^{frac {7}{5}}}
    • x5=x15{displaystyle {sqrt[{5}]{x}}=x^{frac {1}{5}}}
    • x15+x75{displaystyle x^{frac {1}{5}}+x^{frac {7}{5}}}
    • x85{displaystyle x^{frac {8}{5}}}
    • x^{{{frac {8}{5}}}} />
</strong></li>
</ul>
<h2>Tips</h2>
<ul>
<li>

      . da mesma forma, 1 é o elemento identidade da multiplicação (1 usado como multiplicador, como 5∗1=5{displaystyle 5*1=5}

      ) e da divisão (1 usado como divisor, como 5/1=5{displaystyle 5/1=5}

      ).

    • base zero elevada ao expoente zero, ou seja, 00, possui valor indefinido. computadores e calculadoras retornarão uma mensagem de erro. é importante lembrar que todo número real diferente de zero elevado a 0 é sempre igual a 1, como por exemplo 40=1.{displaystyle 4^{0}=1.}
    • na álgebra avançada para números imaginários, eaix=cosax+isinax{displaystyle e^{a}ix=cosax+isinax}
    • , onde i=(−1){displaystyle i={sqrt {(}}-1)}

      , e{displaystyle e}

      é uma constante irracional contínua que vale aproximadamente 2, 71828…, e a{displaystyle a}

      é uma constante arbitrária. a prova dessa relação pode ser encontrada na maioria dos livros de matemática de nível superior.

    avisos

    • aumentar o valor do expoente provoca um crescimento muito rápido na magnitude da potência, de tal forma que, mesmo a resposta parecendo incorreta, ela pode realmente estar certa. você pode verificar isso representando graficamente qualquer função exponencial (por exemplo, 2x) se x tiver uma faixa de valores.

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