3 Ways to Factor Binomials

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3 Ways to Factor Binomials
3 Ways to Factor Binomials
Anonim

In algebra, binomials are two terms connected by a plus or minus sign, such as ax+b{displaystyle ax+b}

. O primeiro termo sempre inclui uma variável, enquanto o segundo pode ou não a incluir. Fatorar um binômio significa encontrar termos mais simples que, quando multiplicados um pelo outro, produzem aquele número binômio, o que o ajuda a calculá-lo ou simplificá-lo.

Passos

Método 1 de 3: Fatorando números binômios

Binomial Factor Step 1

Step 1. Review the basics of factorization

Factoring is "breaking" a large number into its simplest divisible parts. Each of these parts is called a "factor". For example, the number 6 can be divided into four different numbers: 1, 2, 3 and 6. So the factors of 6 are 1, 2, 3 and 6.

  • The factors of 32 are 1, 2, 4, 8, 16 and 32
  • Both the number "1" and the number to be factored will always be factors. So the factors of a small number like 3 are just 1 and 3.
  • The factors are just perfectly divisible numbers, or "whole" numbers. You can divide 32 by 3, 564 or 21, 4952, it won't lead to a factor, just another decimal.
Binomials Factor Step 2

Step 2. Order the terms of the binomial to make them easier to read

A binomial is nothing more than the addition or subtraction of two numbers, at least one of which contains a variable. Sometimes these variables have exponents, such as x2{displaystyle x^{2}}

ou 5y4{displaystyle 5y^{4}}

. Ao fatorar um número binômios pela primeira vez, pode ser mais fácil reorganizar as equações com variáveis ascendentes, ou seja, o maior exponente ficando no final. Por exemplo:

  • 3t+6{displaystyle 3t+6}
  • → 6+3t{displaystyle 6+3t}

  • 3x4+9x2{displaystyle 3x^{4}+9x^{2}}
  • → 9x2+3x4{displaystyle 9x^{2}+3x^{4}}

  • x2−2{displaystyle x^{2}-2}
  • → −2+x2{displaystyle -2+x^{2}}

    Veja como o sinal de subtração permanece na frente do 2. Se um termo é subtraído, mantenha o sinal de negativo na frente dele

Binomial Factor Step 3

Step 3. Find the greatest common factor of both terms

In other words, find the largest possible number by which both parts of the binomial can be divided. If you are having difficulty finding it, just simplify both numbers individually, then look at the largest number present in the two factorizations. For example:

  • Practical problem:

    3t+6{displaystyle 3t+6}

    • Fatores de 3: 1, 3
    • Fatores de 6: 1, 2, 3, 6.
    • O maior fator comum é o 3.
Binomial Factor Step 4

Step 4. Divide each term by the greatest common factor

Once you find the factor, you need to remove it from each term. Know, however, that you are just "breaking" the terms, turning each one into a little division problem. If you did everything right, both equations will share your factor:

  • Practical problem:

    3t+6{displaystyle 3t+6}

  • Encontre o maior fator comum:

    3

  • Remova o fator de ambos os termos:

    3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}

Binomial Factor Step 5

Step 5. Multiply the factor by the result of the expression to finish

In the last problem, you remove the number 3 to get t+2{displaystyle t+2}

. Porém, você não estava removendo o número 3 inteiramente; ele foi apenas fatorado para simplificar as coisas. Não se pode remover números sem colocá-los de volta depois! Multiplique seu fator pela expressão para finalmente terminar. Por exemplo:

  • Problema prático:

    3t+6{displaystyle 3t+6}

  • Encontre o maior fator comum:

    3

  • Remova o fator de ambos os termos:

    3t3+63=t+2{displaystyle {frac {3t}{3}}+{frac {6}{3}}=t+2}

  • Multiplique o fator pela nova expressão:

    3(t+2){displaystyle 3(t+2)}

  • Resposta final fatorada: 3(t+2){displaystyle 3(t+2)}
Binomials Factor Step 6

Step 6. Check the accounts by multiplying all the numbers back to the original equation

If you've done everything right, checking the answer should be easy. Just multiply the factor by both individual parts in parentheses. If the result matches the original binomial number and not factored, then you've done everything right. From beginning to end, solve the expression 12t+18{displaystyle 12t+18}

para praticar:

  • Reorganize os termos:

    18+12t{displaystyle 18+12t}

  • Encontre o maior denominador comum:

    6{displaystyle 6}

  • Remova o fator de ambos os termos:

    18t6+12t6=3+2t{displaystyle {frac {18t}{6}}+{frac {12t}{6}}=3+2t}

  • Multiplique o fator pela nova expressão:

    6(3+2t){displaystyle 6(3+2t)}

  • Verifique a resposta:

    (6∗3)+(6∗2t)=18+12t{displaystyle (6*3)+(6*2t)=18+12t}

Método 2 de 3: Fatorando binômios para resolver equações

Binomials Factor Step 7

Step 1. Use factorization to simplify equations and make solving easier

When calculating an equation with binomial numbers, especially complex ones, it may seem like there is no solution. For example, try calculating 5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

. Uma forma de resolver uma expressão, principalmente com exponentes, é fatorá-la antes:

  • Problema prático:

    5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

  • Lembre-se de que os números binômios devem ter apenas dois termos. Se houver mais do que dois termos, vai ser preciso aprender como calcular polinômios.
Binomial Factor Step 8

Step 2. Add and subtract so that one side of the equation equals zero

This strategy relies on one of the most basic facts in mathematics: any number multiplied by zero equals zero. So if the equation equals zero, then one of the terms must be zero! To start with, make one side equal to zero using addition and subtraction.

  • Practical problem:

    5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

  • Iguale a 0:

    5y−2y2+3y=−3y+3y{displaystyle 5y-2y^{2}+3y=-3y+3y}

    • 8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}
Binomial Factor Step 9

Step 3. Factor the side opposite to zero as you normally would

Now, you can pretend the other side doesn't exist for a step. Just find the biggest common factor, break it down, and create a factored expression.

  • Practical problem:

    5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

  • Iguale a 0:

    8y−2y2=0{displaystyle 8y-2y^{2}=0}

  • Fatore:

    2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}

Binomial Factor Step 10

Step 4. Match the inside and outside of the parentheses to zero

In the practical problem, you're multiplying 2y by 4 - y, and that should equal zero. Since any number multiplied by zero equals zero, this means that 2y or 4 - y must equal 0. Create two separate equations to see which "y" must be on each side to equal zero.

  • Practical problem:

    5y−2y2=−3y{displaystyle 5y-2y^{2}=-3y}

  • Iguale a 0:

    8y−2y2+3y=0{displaystyle 8y-2y^{2}+3y=0}

  • Fatore:

    2y(4−y)=0{displaystyle 2y(4-y)=0}

  • Iguale ambas as partes a 0:

    • 2y=0{displaystyle 2y=0}
    • 4−y=0{displaystyle 4-y=0}
Binomials Factor Step 11

Step 5. Calculate both sides of zero to get the final answer (or answers)

There may be one or more answers. Remember: only one side must equal zero, so you might get some different "y" values ​​that solve the same equation. Towards the end of the practical problem:

  • 2y=0{displaystyle 2y=0}

    • 2y2=02{displaystyle {frac {2y}{2}}={frac {0}{2}}}
    • y = 0
  • 4−y=0{displaystyle 4-y=0}
    • 4−y+y=0+y{displaystyle 4-y+y=0+y}
    • y = 4
Binomials Factor Step 12

Step 6. Substitute the answer values ​​to see if they work

If you got the correct "y" values, then you can use them to solve the equation. This is very simple; just replace each "y" value with the variable as shown below. As the answers were y = 0 and y = 4:

  • 5(0)−2(0)2=−3(0){displaystyle 5(0)-2(0)^{2}=-3(0)}

    • 0+0=0{displaystyle 0+0=0}
    • 0=0{displaystyle 0=0}
    • Essa é a resposta correta

  • 5(4)−2(4)2=−3(4){displaystyle 5(4)-2(4)^{2}=-3(4)}
    • 20−32=−12{displaystyle 20-32=-12}
    • 0=0{displaystyle 0=0}
    • Essa resposta também está correta

Método 3 de 3: Lidando com problemas mais difíceis

Binomials Factor Step 13

Step 1. Remember that variables also count as factors, even with exponents

Don't forget that factoring is nothing more than finding the integer divisibles of a number. The expression x4{displaystyle x^{4}}

é uma outra forma de representar x∗x∗x∗x{displaystyle x*x*x*x}

x*x*x*x />
<p>. That means you can factor each
  • Você pode até mesmo tirar várias variáveis ao mesmo tempo. Por exemplo, na equação x2+x4{displaystyle x^{2}+x^{4}}
  • ambos os termos contêm o mesmo x2{displaystyle x^{2}}

    . Você pode fatorá-la para x2(1+x2){displaystyle x^{2}(1+x^{2})}

    Binomials Factor Step 14

    Step 2. Recognize non-simplified binomial numbers by grouping similar terms

    For example, use the expression 6+2x+14+3x{displaystyle 6+2x+14+3x}

    . Pode parecer que existem quatro termos, mas olhe atentamente e veja que na verdade só existem dois. É possível somar termos semelhantes, e como os números 6 e 14 não possuem variáveis, e os termos 2x e 3x possuem a mesma variável, eles podem ser agrupados. Agora, a fatoração fica fácil:

    • Problema original:

      6+2x+14+3x{displaystyle 6+2x+14+3x}

    • Reorganize os termos:

      2x+3x+14+6{displaystyle 2x+3x+14+6}

    • Agrupe os termos semelhantes:

      5x+20{displaystyle 5x+20}

    • Encontre o maior fator comum:

      5(x)+5(4){displaystyle 5(x)+5(4)}

    • Fatore:

      5(x+4){displaystyle 5(x+4)}

    Binomials Factor Step 15

    Step 3. Recognize the "special difference of perfect roots"

    A perfect root is a number whose square root is an integer, such as 9{displaystyle 9}

    (3∗3){displaystyle (3*3)}

    , x2{displaystyle x^{2}}

    (x∗x){displaystyle (x*x)}

    ou até mesmo 144t2{displaystyle 144t^{2}}

    (12t∗12t){displaystyle (12t*12t)}

    Caso seu binômio seja um problema de subtração com duas raízes perfeitas, como a2−b2{displaystyle a^{2}-b^{2}}

    , você pode simplesmente substituí-los na fórmula:

    • Fórmula da diferença de raízes perfeitas:

      a2−b2=(a+b)(a−b){displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

    • Problema prático:

      4x2−9{displaystyle 4x^{2}-9}

    • Calcule as raízes quadradas:

      • 4x2=2x{displaystyle {sqrt {4x^{2}}}=2x}
      • 9=3{displaystyle {sqrt {9}}=3}
    • Substitua as raízes na fórmula: 4x2−9=(2x+3)(2x−3){displaystyle 4x^{2}-9=(2x+3)(2x-3)}
    Binomials Factor Step 16

    Step 4. Learn the breakdown of the "perfect cubic root difference"

    Like perfect roots, this is a simple formula to use when you have two cubic terms subtracted from each other. For example, a3−b3{displaystyle a^{3}-b^{3}}

    . Da mesma forma que antes, basta achar a raiz cúbica de cada termo e substituí-la na fórmula:

    • Fórmula da diferença dos cubos perfeitos:

      a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2){displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}

    • Problema prático:

      8x3−27{displaystyle 8x^{3}-27}

    • Calcule as raízes cúbicas:

      • 8x33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
      • 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
    • Substitua as raízes na fórmula: 8x3−27=(2x−3)(4x2+6x+9){displaystyle 8x^{3}-27=(2x-3)(4x^{2}+6x+9)}
    Binomials Factor Step 17

    Step 5. Know that the sum of the perfect cubes also fits into a formula

    Unlike perfect squares, it is also possible to calculate the sum of cubic roots, such as a3+b3{displaystyle a^{3}+b^{3}}

    , com uma fórmula simples. ela é quase igual à fórmula anterior, mas com os sinais de soma e subtração invertidos. a fórmula é tão fácil quanto as outras duas, e tudo o que você precisa fazer é reconhecer os dois cubos no problema para usá-los:

    • fórmula da soma dos cubos perfeitos:

      a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2){displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}

    • problema prático:

      8x3−27{displaystyle 8x^{3}-27}

    • calcule as raízes cúbicas:

      • 8x33=2x{displaystyle {sqrt[{3}]{8x^{3}}}=2x}
      • 273=3{displaystyle {sqrt[{3}]{27}}=3}
    • substitua as raízes na fórmula: 8x3−27=(2x+3)(4x2−6x+9){displaystyle 8x^{3}-27=(2x+3)(4x^{2}-6x+9)}

    dicas

    • nem todos os binômios possuem fatores comuns! alguns deles já aparecem em sua forma mais simples possível.
    • caso não tenha certeza se existe um fator comum, divida pela menor parte. por exemplo, se você não reconhece que 16 é o fator comum entre 32 e 16, comece dividindo ambos os números por 2. você vai ficar com os números 16 e 8, que podem ser divididos por 8. agora, você tem os números 2 e 1, ou seja, os fatores menores. com certeza há algo maior do que 8 e 2 que seja um fator comum.
    • saiba que a sexta potência (x6) é tanto um quadrado perfeito quanto um cubo perfeito. portanto, você pode aplicar ambas as formas especiais acima, em qualquer ordem, para um binômio que seja a diferença das sextas potências perfeitas, como x6 - 64. no entanto, pode ser muito mais fácil aplicar antes a fórmula dos quadrados perfeitos, para que você possa fatorar completamente o binômio.

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